Lieu géométrique et nombres complexes (1) - Corrigé

Énoncé

Déterminer le lieu des points \(\text M(z)\) tels que \(\dfrac{2}{z+i}\) soit un nombre réel.

Solution

Point de vue algébrique

La condition à satisfaire ici est : \(\text I\text m\left(\dfrac{2}{z+i}\right)=0\) .
On pose \(z=x+iy\)   avec \(x \in \mathbb{R}\) et \(y \in \mathbb{R}\) . On a : \(\begin{align*}\frac{2}{z+i}& = \frac{2}{x+iy+i}= \frac{2}{x+i(y+1)}= \frac{2(x-i(y+1))}{(x+i(y+1))(x-i(y+1))}= \frac{2x+i(-2y-2))+y}{x^2+(y+1)^2}\end{align*}\)

donc :
\(\begin{align*}\text I\text m\left(\frac{2}{z+i}\right)=0 \Longleftrightarrow \frac{-2y-2}{x^2+(y+1)^2}=0 & \Longleftrightarrow -2y-2=0 \text{ et } x^2+(y+1)^2 \neq 0 \\ & \ \Longleftrightarrow y=-1 \text{ et } (x;y) \neq (0;-1)\end{align*}\)

Finalement, le lieu des points \(\text M(z)\) tels que \(\dfrac{2}{z+i}\) soit réel est la droite d'équation \(y=-1\) privée du point de coordonnées \((0;-1)\) . D'un point de vue algébrique, on écrit : \(\left\lbrace z \in \mathbb{C} \colon \text I\text m(z)=-1 \right\rbrace \setminus \left\lbrace (0;-1) \right\rbrace\) .

Point de vue géométrique

On note \(\text A\) le point du plan complexe d'affixe \(z_\text A=-i\) .
Soit `z \in \mathbb{C}` tel que \(z \neq -i\) . On note \(\text M\) le point du plan complexe d'affixe \(z\) .
On a \(\dfrac{2}{z+i}\) réel  \(\iff \arg \left( \dfrac{2}{z+i} \right) \equiv 0 [ \pi]\)
\(\iff \arg(2) - \arg(z+i) \equiv 0 [ \pi]\)
\(\iff \arg(z+i) \equiv 0 [ \pi]\)
\(\iff \arg( z - z_\text A) \equiv 0 [ \pi]\)
\(\iff \left( \vec{u} ; \overrightarrow{\text A\text M}\right) \equiv 0 [ \pi]\)
Donc les points \(\text M(z)\) tels que \(\dfrac{2}{z+i}\) soit un nombre réel sont les points de la droite passant par \(\text A\) et parallèle à l'axe des abscisses, privée du point de coordonnées \((0;-1)\) .